🐝 蜜蜂专属复习资料
动能定理
$$W_{合} = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2$$
合外力做的功 = 动能的变化量
不管力多复杂、路径多弯曲，只看初末状态就够了！🐝
不管力多复杂、路径多弯曲，只看初末状态就够了！🐝
动能定理的优势
- 不需要知道加速度
- 不需要知道运动时间
- 变力做功也能搞定
- 只关注初末状态
使用注意事项
- $W$ 是合外力做的功
- 各力做功代数求和
- 位移用对地位移
- 正负号要仔细判断
蜜蜂解题口诀
- 受力分析不能少
- 各力做功逐个算
- 代数求和等动能差
- 初末状态是关键
五大题型一览
01
基本应用
恒力做功比较
02
变力做功
反求变力功
03
多过程
全程法优先
04
曲线运动
平抛+圆周
05
图像传送带
面积与生热
🐝 蜜蜂秒杀技巧
1受力分析：把所有力都找出来（重力、支持力、拉力、摩擦力……），一个都不能漏！
2逐力算功：$W = Fs\cos\theta$，垂直位移的力做功为零（比如支持力、向心力）
3代数求和：$W_{合} = W_1 + W_2 + \cdots$，正负号要看清楚！
4套公式：$W_{合} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2$，解出目标量
🍯 蜜蜂小贴士：动能定理里的 $W$ 必须是合外力做的功，不是某一个力！如果题目问"某力做的功"，要先用动能定理求出合力做的功，再减去其他已知力的功。
例1 · 水平拉力做功比较（形成性练习 题1）
一物体静止在粗糙水平面上，现用一大小为 $F_1$ 的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度为 $v_1$。若将水平拉力的大小改为 $F_2$，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为 $2v_1$。对于上述两个过程，用 $W_{F_1}$、$W_{F_2}$ 分别表示拉力 $F_1$、$F_2$ 所做的功，$W_{f_1}$、$W_{f_2}$ 分别表示两次克服摩擦力所做的功，则
📐 情境图
过程一：拉力 F₁，末速度 v₁
v₀=0
时间 t
f₁←
m
→F₁
v₁
动能定理（过程一）
$W_{F_1} - W_{f_1} = \frac{1}{2}mv_1^2 - 0 = \frac{1}{2}mv_1^2$ ①
过程二：拉力 F₂，末速度 2v₁
v₀=0
时间 t（相同）
f₂←
m
→F₂
2v₁
动能定理（过程二）
$W_{F_2} - W_{f_2} = \frac{1}{2}m(2v_1)^2 = 4 \times \frac{1}{2}mv_1^2$ ②
由于末速度更大，位移更大，故 $W_{f_2} > W_{f_1}$（摩擦力相同，位移更大）
② - ① 得：$W_{F_2} - W_{F_1} > 3 \times \frac{1}{2}mv_1^2$，即 $W_{F_2} > 4W_{F_1}$
关键两次时间相同，但加速度不同（$F_2$ 更大），所以位移之比不是 1:2。用冲量定理：$F_1 t - f t = mv_1$，$F_2 t - f t = 2mv_1$，得 $F_2 - F_1 = mv_1/t$，$F_2 > F_1$。
摩擦力两次摩擦力大小相同（同一物体，同一地面），$f_1 = f_2 = f$。位移 $s_2 > 2s_1$（加速度更大，时间相同，位移更大），故 $W_{f_2} = fs_2 > 2fs_1 = 2W_{f_1}$。
答案选 C：$W_{F_2} < 4W_{F_1}$（因为 $W_{f_2} > 2W_{f_1}$，从②-①可推出），$W_{f_2} = 2W_{f_1}$……实际上需仔细计算，答案选 C。
🐝
蜜蜂总结：时间相同 ≠ 位移相同！末速度翻倍，动能变为 4 倍，但摩擦力做的功要单独分析位移关系，不能想当然地说"也翻倍"。
例2 · 三车制动距离之比（形成性练习 题8）
甲、乙、丙三辆汽车的质量之比是 $1:2:3$，如果它们的动能相等，且轮胎与水平地面之间的动摩擦因数都相等，则它们关闭发动机后滑行距离之比是多少？
📐 情境图
甲
m
m
s₁（最长）
乙
2m
2m
s₂（居中）
丙
3m
3m
s₃（最短）
对每辆车用动能定理：$-\mu mg \cdot s = 0 - E_k$
解得：$s = \dfrac{E_k}{\mu mg}$，动能相同，$\mu$ 相同
所以 $s \propto \dfrac{1}{m}$，质量越大，滑行越短！
解得：$s = \dfrac{E_k}{\mu mg}$，动能相同，$\mu$ 相同
所以 $s \propto \dfrac{1}{m}$，质量越大，滑行越短！
s₁ : s₂ : s₃ = 6 : 3 : 2
建模关闭发动机后，只有摩擦力做功（支持力和重力垂直位移，不做功）。
列式$-\mu m_i g \cdot s_i = 0 - E_k$，得 $s_i = \dfrac{E_k}{\mu m_i g}$
比较$s_1 : s_2 : s_3 = \dfrac{1}{m} : \dfrac{1}{2m} : \dfrac{1}{3m} = 1 : \dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{3} = 6 : 3 : 2$
🐝
蜜蜂总结：动能相同时，质量越大的车反而滑行越短！因为质量大，摩擦力也大，制动力更强。这是个反直觉的结论，用动能定理秒杀！
🐝 蜜蜂秒杀技巧
1识别变力：弹力、摩擦力随位置变化、绳的拉力随角度变化……这些都是变力，不能直接用 $W=Fs$。
2反向思维：$W_{变} = \Delta E_k - W_{已知恒力}$，用动能定理"反求"变力做的功。
3转台类题：转台对物块做的功 = 物块动能变化 - 重力做功（水平转台重力不做功）。
🍯 蜜蜂小贴士：变力做功是动能定理最强大的应用场景！遇到"求某个变力做的功"，第一反应就是用动能定理反推，这是高考常考的"逆向思维"题型。
例3 · 踢皮球——求人对球做的功（专题课 题1）
一人用脚踢质量为 $1\,\text{kg}$ 的皮球，使球以 $10\,\text{m/s}$ 的速度飞出，假设人踢球的平均作用力是 $200\,\text{N}$，球在水平方向运动了 $20\,\text{m}$ 后停止，那么人对球所做的功为多少？
📐 情境图
🦵
v₀=10 m/s
⚽
踢出瞬间
⚽
f（摩擦力）
s = 20 m
🛑
⚠️ 注意：这道题不是直接求踢球时做的功！
题目给的 F=200N 是干扰信息！
对滑行过程用动能定理：$W_f = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2$
$W_f = -\frac{1}{2}\times1\times100 = -50\,\text{J}$
∴ 人对球做的功 = 50 J（选 A）
陷阱很多同学会用 $W = F \cdot s = 200 \times 20 = 4000\,\text{J}$，这是错的！$F=200\,\text{N}$ 是踢球时的力，$s=20\,\text{m}$ 是滑行距离，两者不在同一过程！
正确思路对滑行过程（初速 $v_0=10\,\text{m/s}$，末速 $0$）用动能定理：$W_f = \Delta E_k = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -50\,\text{J}$
结论由能量守恒（踢球过程）：人对球做的功 = 球获得的动能 = $\frac{1}{2}mv_0^2 = 50\,\text{J}$
🐝
蜜蜂总结：这道题是经典的"信息干扰"题！$F=200\,\text{N}$ 完全是多余条件。人对球做的功 = 球的初动能，直接用能量关系秒杀，不要被 $F$ 带偏！
例4 · 转台物块——求转台对物块做的功（专题课 题2）
如图，水平转台上有一质量为 $m$ 的物块（可视为质点），物块与竖直转轴间距为 $R$，物块与转台间动摩擦因数为 $\mu$，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现让物块始终随转台一起由静止开始缓慢加速转动，加速到角速度为 $\omega$ 时，转台对物块做的功为多少？
📐 情境图（俯视图）
O
m
R
ω↻
↻
俯视图
关键分析
物块做圆周运动，末速度：$v = \omega R$
末动能：$E_k = \frac{1}{2}m(\omega R)^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 R^2$
水平转台，重力不做功
转台对物块做的功 = 摩擦力做的功
（摩擦力是变力，不能直接算！）
用动能定理：$W_{转台} = \Delta E_k$
$W_{转台} = \frac{1}{2}m\omega^2 R^2$
分析物块随转台转动，转台通过摩擦力对物块做功。摩擦力的方向随转动不断变化，是变力，无法直接用 $W=Fs$ 计算。
动能定理初始静止，末态速度 $v=\omega R$。水平面上重力不做功，支持力不做功，只有转台（摩擦力）做功。$W_{转台} = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2}m\omega^2 R^2$
注意选项中有 $\frac{kmgR}{2}$ 等，这些是错误的。正确答案是 $\frac{m\omega^2 R^2}{2}$，与 $\mu$、$k$ 无关！
🐝
蜜蜂总结：转台题的精髓——摩擦力方向不断变化，是变力，但动能定理不关心力的方向变化，只看初末动能！直接 $W = \Delta E_k = \frac{1}{2}m\omega^2R^2$，一步到位。
🐝 蜜蜂秒杀技巧
1全程法优先：只关注整个过程的初态和末态，中间过程不管！$W_{合（全程）} = E_{k末} - E_{k初}$
2什么时候用分段法：需要求中间某个状态的速度，或者各段摩擦因数不同时，才分段处理。
3多体问题：对整体用动能定理时，内力做功之和为零（绳子连接的系统），可以大幅简化。
🍯 蜜蜂小贴士：全程法是"懒人神器"！不管中间经过几段斜面、几段水平面，只要摩擦力做的功能算出来，直接一个方程搞定。遇到多过程题，先想全程法！
例5 · 滑草场——甲最终停在哪里？（高中物理必修二 题7）
某景点的滑草场有两个坡度不同的滑道 AB 和 AB'（均可看作斜面），甲、乙两名质量相等的游客分别乘两个完全相同的滑草装置从 A 点由静止分别沿 AB 和 AB' 滑下，最后都停在水平草面上，其中乙停在了 C 点处。设滑草装置和草面间的动摩擦因数处处相同，斜面与水平面连接处均可认为是圆滑的，滑草者保持相同的姿势坐在滑草装置上不动，则甲最终停在哪里？
📐 情境图
A
B
B'
C（乙停）
甲停？
甲（AB陡）
乙（AB'缓）
h
全程法对甲（或乙）的全程用动能定理：初末均静止，$\Delta E_k = 0$。$W_{重力} + W_{摩擦} = 0$，即 $mgh - \mu mg \cdot s_{总} = 0$，得 $s_{总} = \frac{h}{\mu}$。
关键$s_{总}$ 是总路程（斜面路程 + 水平路程），与坡度无关！但甲走的斜面更陡，斜面路程更短，所以水平路程更长，甲停在 C 点右侧。
答案选 C。甲的水平滑行距离 = $\frac{h}{\mu} - L_{AB}$，乙的水平滑行距离 = $\frac{h}{\mu} - L_{AB'}$，因为 $L_{AB} < L_{AB'}$，所以甲的水平距离更长，停在 C 右侧。
🐝
蜜蜂总结：全程法的精髓——初末都静止，$\Delta E_k = 0$，重力做的功 = 克服摩擦力做的功，总路程只与高度 $h$ 和 $\mu$ 有关，与坡度完全无关！
例6 · 拍篮球——分段求拍球力（能力提升 题11）
一篮球质量为 $m=0.60\,\text{kg}$，一运动员使其从距地面高度 $h_1=1.8\,\text{m}$ 处由静止自由落下，反弹高度 $h_2=1.2\,\text{m}$。若使篮球从距地面 $h_3=1.5\,\text{m}$ 的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，球落地后反弹的高度也是 $1.5\,\text{m}$。假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间 $t=0.20\,\text{s}$。该篮球每次与地面碰撞前后的动能之比不变。$g$ 取 $10\,\text{m/s}^2$，不计空气阻力。求运动员拍球过程中对篮球所做的功。
📐 情境图
过程一：自由落下+反弹
↓
h₁=1.8m
↑
h₂=1.2m
碰地前动能：$E_1 = mgh_1$
碰地后动能：$E_2 = mgh_2$
动能比：$E_2/E_1 = h_2/h_1 = 2/3$
碰地后动能：$E_2 = mgh_2$
动能比：$E_2/E_1 = h_2/h_1 = 2/3$
过程二：拍球下落+反弹
↓
h₃=1.5m
↑
h₃=1.5m
反弹高度=下落高度
碰地后动能：$E_4 = mgh_3$
碰地前动能：$E_3 = \frac{3}{2}E_4 = \frac{3}{2}mgh_3$
碰地后动能：$E_4 = mgh_3$
碰地前动能：$E_3 = \frac{3}{2}E_4 = \frac{3}{2}mgh_3$
第一步由过程一求碰撞动能比：碰前 $E_1 = mgh_1 = 0.6\times10\times1.8 = 10.8\,\text{J}$，碰后 $E_2 = mgh_2 = 7.2\,\text{J}$，比值 $k = E_2/E_1 = 2/3$。
第二步过程二中，反弹高度 $h_3=1.5\,\text{m}$，碰后动能 $E_4 = mgh_3 = 9\,\text{J}$，碰前动能 $E_3 = E_4/k = 9 \div (2/3) = 13.5\,\text{J}$。
第三步对拍球下落全过程用动能定理（初态静止，末态碰地前）：$W_{拍} + mgh_3 = E_3 - 0$，$W_{拍} = 13.5 - 9 = 4.5\,\text{J}$。
🐝
蜜蜂总结：多过程题的关键是找"不变量"——碰撞动能比 $k$ 不变，这是连接两个过程的桥梁。然后对拍球下落过程用动能定理，一步求出拍球做的功！
🐝 蜜蜂秒杀技巧
1平抛运动：只有重力做功，$mgh = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$，直接求末速度大小，比分解速度快 10 倍！
2圆周运动：先用动能定理求各点速度，再用牛顿第二定律列向心力方程，两步走。
3临界条件：绳模型最高点 $v_{min} = \sqrt{gR}$（绳子张力为零）；杆模型 $v_{min} = 0$（杆可以推也可以拉）。
🍯 蜜蜂小贴士：平抛运动用动能定理，直接得到速度大小，不需要分别求水平和竖直分速度再合成，省时省力！曲线运动中动能定理只关心速度大小的变化，方向变化不影响。
例7 · 投手榴弹——平抛运动中的动能定理（综合提升练 题8）
长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹，战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为 $m$ 的手榴弹，手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为 $h$，在空中的运动可视为平抛运动，重力加速度为 $g$，不计空气阻力。下列说法正确的有哪些？
📐 情境图
投出点（高度h）
甲（v₀大）
乙（v₀小）
h
工事（地面）
🎯
A 错甲乙初速度大小不同，平抛的水平速度不同，但竖直方向都是自由落体，下落高度 $h$ 相同，所以运动时间相同。A 说"相等"——等等，A 是正确的！$t = \sqrt{2h/g}$，与初速度无关。
B 分析落地前瞬间竖直速度 $v_y = gt$，两者相同。重力功率 $P = mgv_y$，两者相同。B 说"不相等"是错的。
C 正确重力势能变化只与高度差有关，$\Delta E_p = mgh$，与初速度无关。C 正确。
D 分析不计空气阻力，只有重力做功，机械能守恒，变化量为 0，不是 $mgh$。D 错。
🐝
蜜蜂总结：平抛运动中，重力势能变化 $= mgh$（只与高度差有关），不计空气阻力时机械能守恒（变化量为0）。用动能定理可以快速求落地速度大小：$v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$。
例8 · 斜面+圆弧+传送带综合大题（高中物理必修二 题10）
如图，竖直平面内一倾角为 $\theta=37°$ 的粗糙倾斜直轨道 AB 与光滑圆弧轨道 BC 相切于 B 点，圆弧轨道与传送带水平段平顺连接于 C 点。一质量为 $m=200\,\text{g}$ 的小滑块从 A 点由静止被释放，经 B 点，最后从 C 点水平滑上传送带。已知 A 点离地高度 $H=1.15\,\text{m}$，AB 长 $L_1=1.0\,\text{m}$，滑块与 AB 间的动摩擦因数 $\mu_1=0.25$，与传送带间的动摩擦因数 $\mu_2=0.20$，CD 长 $L_2=3.0\,\text{m}$，圆弧轨道半径 $R=0.5\,\text{m}$。$g$ 取 $10\,\text{N/kg}$。
求：(1) 小滑块经过 C 点时对轨道的压力；
求：(1) 小滑块经过 C 点时对轨道的压力；
📐 情境图：斜面 + 圆弧 + 传送带 + 平抛
A
B
C
●
●
→ 传送带
D
H=1.15m
θ=37°
AB段： $L_1=1.0\,\text{m}$，$\mu_1=0.25$
圆弧BC： $R=0.5\,\text{m}$（光滑）
传送带CD： $L_2=3.0\,\text{m}$，$\mu_2=0.20$
$m=200\,\text{g}$，$H=1.15\,\text{m}$
A→C动能定理圆弧光滑，只有 AB 段有摩擦。$W_{重} + W_{摩} = \frac{1}{2}mv_C^2$
$mgH - \mu_1 mg\cos\theta \cdot L_1 = \frac{1}{2}mv_C^2$
$0.2\times10\times1.15 - 0.25\times0.2\times10\times0.8\times1.0 = \frac{1}{2}\times0.2\times v_C^2$
$2.3 - 0.4 = 0.1v_C^2$，$v_C^2 = 19\,\text{m}^2/\text{s}^2$
$mgH - \mu_1 mg\cos\theta \cdot L_1 = \frac{1}{2}mv_C^2$
$0.2\times10\times1.15 - 0.25\times0.2\times10\times0.8\times1.0 = \frac{1}{2}\times0.2\times v_C^2$
$2.3 - 0.4 = 0.1v_C^2$，$v_C^2 = 19\,\text{m}^2/\text{s}^2$
C点向心力C 点是圆弧最低点，向心加速度向上：$N - mg = \frac{mv_C^2}{R}$
$N = mg + \frac{mv_C^2}{R} = 0.2\times10 + \frac{0.2\times19}{0.5} = 2 + 7.6 = 9.6\,\text{N}$
$N = mg + \frac{mv_C^2}{R} = 0.2\times10 + \frac{0.2\times19}{0.5} = 2 + 7.6 = 9.6\,\text{N}$
答案由牛顿第三定律，滑块对轨道的压力为 $9.6\,\text{N}$，方向竖直向下。
🐝
蜜蜂总结：综合大题的标准解法——先用动能定理求各关键点速度，再用牛顿定律求力。A→C 全程用动能定理，圆弧光滑不用管，只算 AB 段摩擦力做的功。
🐝 蜜蜂秒杀技巧
1F-x 图像：图线与 x 轴围成的面积 = 力做的功。梯形、三角形、矩形面积公式要熟练！
2Eₖ-x 图像：图线的斜率 = 合外力大小（$\frac{dE_k}{dx} = F_{合}$）。
3传送带做功：摩擦力对物块做的功 = $f \times s_{物块对地位移}$（用对地位移！）
4传送带生热：摩擦产生的热量 = $f \times s_{相对位移}$（用相对滑动距离！）
🍯 蜜蜂小贴士：传送带题最容易混淆"做功"和"生热"！做功用对地位移，生热用相对位移（即留下的痕迹长度）。这两个量一般不相等，千万不要搞混！
例9 · F-x 图像——求物体运动情况（专题课 题5）
质量为 $1\,\text{kg}$ 的物体静止在粗糙的水平地面上，在一水平外力 $F$ 的作用下运动，如图甲所示，运动 $9\,\text{m}$ 后 $F$ 停止作用，外力 $F$ 和物体克服摩擦力 $F_f$ 做的功与物体位移的关系如图乙所示。$g$ 取 $10\,\text{m/s}^2$，求物体在前 $3\,\text{m}$ 运动过程中的加速度。
📐 W-x 图像分析
🔵 W_F 折线（蓝色）
斜率不断增大 → F 逐渐增大
前3m面积（三角形）= $\frac{1}{2}\times3\times F_1 = 20\,\text{J}$
→ $F_1 \approx 13.3\,\text{N}$
前3m面积（三角形）= $\frac{1}{2}\times3\times F_1 = 20\,\text{J}$
→ $F_1 \approx 13.3\,\text{N}$
🔴 W_f 直线（红色）
斜率恒定 → f 为恒力
$x=9\,\text{m}$ 时 $W_f=9\,\text{J}$
→ $f = 1\,\text{N}$，$\mu=0.1$
$x=9\,\text{m}$ 时 $W_f=9\,\text{J}$
→ $f = 1\,\text{N}$，$\mu=0.1$
⚡ 求前3m加速度：
$a = \dfrac{F_1 - f}{m} = \dfrac{13.3 - 1}{1} \approx 12.3\,\text{m/s}^2$（以题目图像实际读数为准）
读图$W_f$-$x$ 图像是过原点的直线，斜率 = 摩擦力 $f$。从图读出 $x=9\,\text{m}$ 时 $W_f=9\,\text{J}$，故 $f = 1\,\text{N}$，$\mu = f/(mg) = 0.1$。
求F$W_F$-$x$ 图像中，前 $3\,\text{m}$ 的面积（三角形）= $\frac{1}{2} \times 3 \times F_1 = 20\,\text{J}$（从图读取），得 $F_1 = 40/3\,\text{N}$。
求a$a = \frac{F_1 - f}{m} = \frac{40/3 - 1}{1} = \frac{37}{3} \approx 12.3\,\text{m/s}^2$（具体数值以题目图像为准）。
🐝
蜜蜂总结：$F$-$x$ 图像的面积 = 功，$W_f$-$x$ 图像的斜率 = 摩擦力。先从图像中提取物理量，再代入动能定理或牛顿定律，是图像题的标准套路。
例10 · 传送带留痕——做功 vs 生热（能力提升 题12）
如图，用水平传送带将质量为 $m$ 的煤块从 A 端运送到 B 端。AB 之间的距离为 $L$，传送带始终保持以速率 $v$ 匀速运动，煤块与传送带间的动摩擦因数为 $\mu$。将煤块轻轻放在传送带上后，煤块在传送带上留下一段长度为 $l$（$l < L$）的痕迹。下列说法不正确的是（ ）
📐 情境图
●
●
v→
A
B
煤m
痕迹长度 l
← L →
阶段一：加速（有相对滑动）
煤块速度：$0 \to v$
摩擦力方向：→（与运动同向）
摩擦力做正功
留下痕迹长度：$l$
阶段二：匀速（无相对滑动）
煤块速度：$v$（与传送带同速）
静摩擦力（或无摩擦力）
不再产生新痕迹
摩擦力对煤块做的功
$W_f = \mu mg \cdot s_{煤} = \mu mg \cdot \frac{v^2}{2\mu g} = \frac{1}{2}mv^2$
摩擦产生的热量
$Q = \mu mg \cdot l$（相对位移 = 痕迹长度 $l$）
摩擦力对煤块做的功（另一种写法）
$W_f = \mu mg \cdot (L - \frac{l}{2})$（不是 $\mu mg(L+l)$！）
A 错误：摩擦力对煤块做的功应为 $\frac{1}{2}mv^2$，不是 $\mu mg(L+l)$
做功分析加速阶段，摩擦力 $f=\mu mg$ 对煤块做正功。煤块位移 $s_{煤} = \frac{v^2}{2\mu g}$（由运动学求得）。$W_f = \mu mg \cdot s_{煤} = \frac{1}{2}mv^2$。匀速阶段无相对滑动，静摩擦力做功为零（水平匀速）。
生热分析只有加速阶段有相对滑动，相对位移 = 传送带位移 - 煤块位移 = 痕迹长度 $l$。$Q = \mu mg \cdot l$。
答案A 不正确（$\mu mg(L+l)$ 是错的）；C 正确（$Q = \mu mgl$）。选 A 和 D。
🐝
蜜蜂总结：传送带题的核心区别——做功用对地位移（煤块走了多远），生热用相对位移（痕迹有多长）。这两个量不相等，是高考必考的易错点！